B-S模型在资产评估中的应用

主讲老师  赵强

一、Black-Scholes模型介绍

（一）Black-Scholes模型介绍

Black-Scholes模型是Fisher Black和Myron Scholes首先提出了一种估算期权价值的方法：Black-Scholes模型（即：B-S模型）。

除此之外，期权价值还可以采用以下方法估算：

（1）二项式定价模型方法；

（2）风险中性定价方法。

期权定价存在多种方法中，B-S模型最为常用。

（二）B-S模型的适用前提

B-S模型是建立在以下假设基础上的：

（1）股票价格是一个随机变量服从对数正态分布；

（2）在期权有效期内，无风险利率是恒定的；

（3）市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；

（4）该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施；

（5）不存在无风险套利机会；

（6）证券交易是持续的；

（7）投资者能够以无风险利率借贷。

设：μ为股票每年投资回报率期望值；σ为股票价格的年波动率。

在t时刻股票价格为S，则在t＋dt时刻股票的价格应该为S＋μS，如果用微分方程描述就是：

上述推导过程说明，股票价格与时间之间的关系服从指数函数的关系。

进一步推导，可以得出结论：

即：Ln（S_T）－Ln（S₀）＝Ln（S_T/S₀）～N（（μ－σ²/2）T，σ²T）。

其中：S₀：股票初始价格；

T：是初始时间距目前阶段的时间。

进一步：Ln（S_T）～N（Ln（S₀）＋（μ－σ²/2）T，σ²T）

如果设S_T是股票在T时刻的价值，则看涨期权的价值应该可以用下列函数表述：

如果S_T是一个随机变量，满足S_T≥X的概率为P，则满足S_T＜X的概率就是1－P，这样投资者获利的数学期望值就是：

E（S_T）＝（S_T－X）×P＋0×（1－P）

这就是看涨期权C的价值估算。

对于看跌期权P：

如果满足S_T＜X的概率为P，则满足S_T≥X的概率就是1－P，这样投资者获利的数学期望值就是：

E（S_T）＝（X－S_T）×P＋0×（1－P）

这就是看跌期权P的价值估算。

B-S模型的推导：

由于看涨期权的收益：

C＝e^-rTE（max（S_T－X），0）＝e^-rT[E（S_T－X/S_T＞X）＋E（S_T－X/S_T＜X）]

上式中的后半部分，根据看涨期权的定义是等于0的，因此可以得到看涨期权的收益：

C＝e^-rTE（S_T－X/S_T＞X）

设：Y＝Ln（），则Y服从正态分布，而＝e^Y，这样看涨期权的收益C可以改写为：

注意关注下式：

该等式定义了N（d₂）是随机变量大于行权价X的概率，也就是发生行权事件的概率。

（三）B-S模型的分类

B-S模型一般分为两类：

（1）不含分红派息的B-S模型：所谓不含分红派息的B-S模型就是在估算股票期权价值时，认为标的股票在期权到期日之前这段时间内没有分红派息，或者说不考虑分红派息；

（2）含分红派息的B-S模型：所谓含分红派息的B-S模型就是在估算股票期权价值时，需要考虑标的股票在期权到期日之前这段时间内进行的分红派息对期权价值的影响。

不含分红派息的买期权C（Call Option）：

C₀＝SN（d₁）－Xe^-rTN（d₂）

上式中：

C₀：不含分红派息买期权（看涨期权）；

X：期权执行价；

S：标的资产现实价格；

r：连续复利计算的无风险收益率；

T：期权到期时间；

N（）：标准正态密度函数；

d₁，d₂：B-S模型的两个参数。

上式中：

X：期权执行价；

S：标的资产现实价格；

r：连续复利计算的无风险收益率；

T：期权到期时间；

σ：股票波动率。

含分红派息的买期权C（看涨期权）：

C₁＝Se^-δTN（d₁）－Xe^-rTN（d₂）

上式中：

C₁：含分红派息的买期权（买期权、看涨期权）；

X：期权执行价；

S：标的资产现实价格；

r：连续复利计算的无风险收益率；

T：期权限制时间；

δ：连续复利计算的股息率；

N（）：标准正态密度函数；

d₁，d₂：B-S模型的两个参数。

上式中：

X：期权执行价；

S：标的资产现实价格；

r：连续复利计算的无风险收益率；

T：期权到期时间；

σ：股票波动率；

δ：连续复利计算的股息率。

不含分红派息的卖期权P₀（看跌期权）：

P₀＝Xe^-rTN（-d₂）－SN（-d₁）

含分红派息卖期权P₁（看跌期权）:

P₁＝Xe^-rTN（-d₂）－Se^-δTN（-d₁）

看涨期权实际就是当标的资产的价格S_T高于约定的行权价X时，期权拥有人就会行权，按行权价X买入标的资产，这时由于S_T≥X，因此期权拥有者可以获利S_T－X，反之当标的资产价格S_T＜X时，权利人不会行权，这时期权价值就是0，上述情况可以用以下函数表述：

看涨期权函数曲线

看跌期权实际就是当标的资产的价格S_T低于约定的行权价X时，期权拥有人就会行权，按行权价X卖出标的资产，这时由于S_T≤X，因此期权拥有者按X价卖出标的资产，还可以按S_T再买回标的资产，这样就可以获利X－S_T，反之当标的资产价格S_T＞X时，权利人不会行权，这时期权价值就是0，上述情况可以用以下函数表述：

看跌期权函数曲线

（四）特殊形式的期权

两点式期权（Binary Option）：

所谓两点式期权就是具有不连续收益的期权。典型的例子就是现金或无值（Cash-or-Nothing）期权。

现金或无值（Cash-or-Nothing）看涨期权当标的资产价格低于执行价时该期权价值为0，当标的资产价格高于执行价时，期权价值为给定值Q。

现金或无值（Cash-or-Nothing）看涨期权的图形：

现金或无值（Cash-or-Nothing）看跌期权当标的资产价格低于执行价时该期权价值为Q，当标的资产价格高于执行价时，期权价值为制定值0。

现金或无值（Cash-or-Nothing）看跌期权的图形：

在B-S看涨期权模型中：

C₁＝Se^-δTN（d₁）－Xe^-rTN（d₂）

标的资产价格高于执行价的概率为N（d₂），因此当标的资产低于执行价时现金或无值（Cash-or-Nothing Call）看涨期权价值为0，当标的资产价值高于执行价时，该期权价值为：

Q＝Xe^-rTN（d₂）

在B-S看跌期权模型中：

P₀＝Xe^-rTN（-d₂）－SN（-d₁）

当标的资产高于执行价时现金或无值（Cash-or-Nothing Put）看跌期权价值为0，当标的资产价值低于执行价时，该期权价值为：

Q＝Xe^-rTN（-d₂）

（五）股票波动率σ的估算

1．股票波动率一般有两个估算途径

（1）采用历史数据估算；

（2）采用隐含方式估算。

2．采用历史数据估算σ的计算方法

（1）采用与期权到期时间T相同年限的股票历史数据计算；

（2）每期数据采用Ln（S_t＋1/S_t）（t=1，2，3，…n）；

（3）估算历史数据的标准差。

3．采用历史数据法估算σ的方法

（1）采用标的股票历史数据估算σ。

（2）采用对比公司或行业多个股票历史数据估算σ。

由于股票波动是随机的，因此对于某个特定股票的预期波动率与其历史数据之间应该不存在关系，因此最好采用该股票所在行业的多个对比股票或全部股票的波动率方差平均值估算。

（3）采用隐含法估算σ，一般都采用彭博数据，目前国内尚没有相关机构提供相关数据。

所谓隐含法就是向相关专业人员进行股票期权询价，采用专业认定的期权价格反算股票的波动率。

B-S模型中无风险收益率r、期权到期时间T和波动率σ三个参数估算应该相互匹配：

如果r是采用年收益率，则T需要按年计算，σ也需要估算其年度波动率；

如果r是采用月度收益率，则T需要按月计算，σ也需要估算其月度波动率；

实际中多采用年度为时间单位计算r、T和σ。

二、B-S模型在股票期权公允价值评估中的应用

（一）股票期权作为一种管理层激励的一种手段越来越多地被国内上市公司所采用

按照相关会计准则的要求，企业实施股权（票）激励，需要按公允价值计量；

实施股权（票）激励的企业每年至少需要将其正在实施的股权（票）激励的期权的公允价值评估出来，为财务报告目的服务；

期权的公允价值评估的基准日选择需要根据需要与企业或审计人员协商后确定。

（二）股票期权激励的概念

所谓股票激励期权通常是上市公司的董事会以决议的方式确定无偿授予公司高级管理人员一个购买股票的权利，该权利规定授权人可以在一个特定时间内，在一定的条件下，以某一个特定的价格购买公司若干股股票。

上市公司仅仅是授权公司高管可以以约定的价格购买股票，也就是授权仅是可以购买股票，并不是授给公司高管股票。

从另外一个角度分析，股票期权就是上市公司与公司的高级管理人员约定进行一项股票交易。

上市公司是约定股票的卖方（空头），其承担义务是一旦买方要求购买股票，则其必须要按约定的价格卖出其持有的股票。

公司管理人员则是股票的买方（多头），其具有一项权利，可以在一个有效期内，按照约定低价格去购买一定数量的股票，管理人员可以选择实际购买，也可以选择不购买。

上述交易中空头方给予多头方的权利不是免费的，需要多头方给予对价补偿，这个对价就是期权的价值。但是股票激励实务中，管理层并不实际支付这个对价，因此造成上市公司需要自行支付对价，即在当期损益中增加相应的成本，这也是需要进行财务报告目的评估的原因，准确计量上市公司替管理层支付这个期权的成本。

从上述分析中可以看到股票激励期权应该是一个有权购买股票的权利，因此是一个看涨期权（Call Option）。

（三）股票期权公允价值评估案例分析

1．案例情况介绍

ABC公司同事会决定对公司高管给予40万份股票期权激励。

股票期权的授予日为：2011年X月28日。

股票期权行权价格为16.85元，但是股票期权有效期内发生资本公积转增股本、派发股票红利、股份拆细或缩股、配股、派息等事宜，行权价格将做相应的调整。

行权安排：本计划授予的股票期权自本期激励计划授予日起满12个月后。

2．模型选择

股票激励期权的模型是看涨期权，通常包括两种：

（1）不含分红派息模型

C＝SN（d₁）－Xe^-rTN（d₂）

（2）包含分红派息模型

C＝Se^-δTN（d₁）－Xe^-rTN（d₂）

根据案例介绍，本次授予的期权是要考虑分红派息问题的，因此应该选择含有分红派息的模型：

C＝Se^-δTN（d₁）－Xe^-rTN（d₂）

3．参数取值估算

S：现实股票价格，取评估基准日ABC公司的股票均价15.1元/股；

X：行权价格，根据ABC公司2011年X月28日的关于股票期权授予相关事项的公告，股票期权的行权价格为16.85元；

T：股权有效期，选择行权日距基准日的期间，按年计算，本次评估为一年（12个月）；

r：连续复利计算的年无风险收益率，在Wind数据中选择剩余年限为1-2年内的国债年到期收益率平均值为3.579%；

σ：股票波动率，选取Wind行业中可选消费-耐用消费品与服装—家庭耐用消费品—家用器具与特殊消费品行业中的上市公司作为对比公司，取其基准日前股价并计算1年（12个月）的股票波动率为32.933%，并以此作为期权的预期波动率；

δ：连续复利计算的股息率，ABC公司于2007年上市，截止评估基准日共进行两次分红，通过计算其历史平均分红率为0.530%，以此作为未来股息收益率。

股票期权评估案例计算表

三、B-S模型在限制流通股价值评估中的应用

（一）采用期权估价方式估算缺少流通性折扣最早出现在1993年

David B.H. Chaffe，III建议采用对冲交易手段作为缺少流通折扣的估算模式；

1995年，Francis Longstaff发表了一个研究。

采用的对冲交易策略是利用一个回望式看跌期权（Look-back Put）。

（二）采用B-S模型估算限制流通价值的思路分析

设股票现实价格为S，限制期为T年后的股票价格为X，如果投资者仅单买股票：

（1）当限制期T年后，股票价格X≥S时，可以认为这个T年的限制期对于投资者没有损失，不论股票是否存在限制，T年后全部盈利X－S；

（2）当限制期T年后，股票价格X＜S时，可以认为这个T年限制使得投资限制流通股票的投资者损失S－X。

如果投资者在投资买股票的同时又购买了一个期限为T，并且在期限T满后的卖出股票行权价为股票初始价S的卖期权（看跌期权）：

（1）当限制期T年后，股票价格X≥S时，股票投资盈利X－S，投资者不会行权，期权价值为0；

（2）当限制期T年后，股票价格X＜S时，股票投资损失S－X，但投资者拥有一个行权价为S卖期权，因此仍然可以以S的价格卖出股票，因此期权的价值为S－X，也就是可以对冲股票投资的损失。

结论：如果限制股票投资者在买股票的同时，再买一个相应卖期权，就可以有效对冲股票限制可能造成的损失。

（三）采用B-S模型估算限制流通股价值案例

1．B-S模型选择

（1）最好应该选择含分红派息法B-S模型；

（2）选择行权日为限制期结束时的欧式期权。

2．各类参数的估算

S：标的股票现实价值，取评估基准日标的股票的收盘价（或均价）；

X：标的股票行权价，限制期结束日股票的期望价格，可以选择按无风险收益率计算的标的股票现价的按限制期计算的到期日终值，即S（1＋r）^T；

T：期权到期日，选择限制股票的限制期；

r：无风险收益率，取与剩余年限与股票限制匹配的国债到期收益率的平均值；

σ：股票波动率，采用历史数据法估算，选择与标的股票位于同一行业的可比上市公司的历史数据，历史数据年度与限制期相同，采用后复权价；

δ：标的股票的股息率，采用标的股票历史年份派现金红利数据计算年平均股息率，历史数据年份采用向前推的年份与限制期年份长度一致，如果标的股票没有足够的上市历史，则或可以采用行业可比上市公司的平均年股息率替代。

限制流通股评估案例计算表

四、B-S模型在掉期合约评估中的应用

（一）掉期（Swap）合约简介

1．掉期合约就是一种协议，规定了协议双方在一定时间段内交换一系列现金流，交换发生在合同预置好的日期。

2．掉期合约中常见的包括汇率掉期、利率掉期合约等。

（1）汇率掉期是指在外汇市场上买进即期外汇的同时又卖出同种货币的远期外汇，或者卖出即期外汇的同时又买进同种货币的远期外汇，也就是说在同一笔交易中将一笔即期和一笔远期业务合在一起做，或者说在一笔业务中将借贷业务合在一起做；

（2）利率掉期相同种货币资金的不同种类利率之间的交换交易，一般不伴随本金的交换；

（3）掉期协议的双方其中一方会采用固定汇率或利率，而另一方则采用浮动汇率或利率。

3．掉期交易与期货、期权交易一样，是近年来发展迅猛的金融衍生产品之一，成为国际金融机构规避汇率风险和利率风险的重要工具。

4．根据会计准则的相关要求，企业掉期合约需要在会计报告日按公允价值进行披露，因此衍生出掉期合约的评估。

（二）汇率掉期合约评估案例

BM公司与AC公司签订一个港币对美元的汇率掉期协议，该协议主要条款如下：

甲方：BM公司/乙方：AC公司；

合同起始日：2008年1月1日；

合同结束日：2020年12月31日；

支付日：2008年至2020年每年12月31日；

甲方向乙方支付（美元）：US$7 500万元；

乙方向甲方支付（港币）：US$7 500万元×约定汇率的港币；

约定汇率：当即期汇率大于6（包含6）小于10时，约定汇率为10，当即期汇率大于10或小于6时约定汇率等于即期汇率；

即期汇率：根据每一个支付日前第一个工作日彭博系统美元/港币即期汇率的报价平均值确定。

评估方法分析：

从本合约的内容可以发现，在每一个支付日美元/港币的汇率决定了BM公司从本合约中可能的获利的金额。

当即期美元/港币汇率λ≥10或λ＜6时，按即期汇率结算，因此BM公司执行该合约没有任何获利或损失；

当即期美元/港币汇率6≤λ＜10时，根据该合约约定，AC公司需要按汇率10计算支付给BM公司美元，从而BM公司可以该合约所能获得的利益为：

US$7 500×10－US$7 500×λ＝US$7 500（10－λ）

根据合约的条款，如果设λ为即期汇率，则可以用以下函数表示：

根据本合约条款，BM公司可以获利的区域以下图表示：

一般的看跌期权的得利模式如下图所示:

可以将看跌期权获利区域分为三部分，BM公司获利的区域可以看作是下图中的I部分：

可以通过估算全部（I＋II＋III），II和III，然后从全部中扣减II和III，最后得到I。

全部（I＋II＋III）可以用下图表示：

为一个初始S₀为现实汇率，行权价为10的看跌期权A。

看跌期权A

II部分可以看作是一个初始S₀为现实汇率，行权汇率为6的看跌期权B。

看跌期权B

III部分实际是一个现金或无价值（Cash or Nothing Put Option）看跌期权，其中初始汇率为现实汇率，行权汇率为6，看跌期权价值C为：Q＝Xe^-rTN（-d₂）

现金或无价值看跌股权

标的合约价值＝看跌期权A－看跌期权B－现金或无价值看跌期权C

BM公司与AC公司签订的汇率掉期合约评估计算表

五、B-S模型在实物期权评估中的应用

（一）实物期权的概念及种类

1．实物期权的定义

是指附着于企业整体资产或者单项资产上的非人为设计的选择权，即指现实中存在的发展或者增长机会、收缩或者退出机会等。拥有或者控制相应企业或者资产的个人或者组织在未来可以执行这种选择权，并且预期通过执行这种选择权能带来经济利益。

2．实物期权分类

（1）发展或增长型看涨期权；

（2）收缩或退出或转换使用目的的看跌期权。

（二）或有资产

是指目前尚没有形成确定性的资产，但将来可能形成资产，是否能形成资产具有不确定较大。

通常存在的或有资产包括正在处于申请阶段的专利；

虽然已经是专利，但要实现产业化尚需较长发展，目前不确定性较大的专利，如处于研制阶段的医药新产品；

处于建设初期的在建工程；

对于实物期权和或有资产其共性就是未来能创造的收益不确定性较高，目前不能准确地估计其投资回报率，也就是不能准确地估算其折现率，因此对于这类“资产”不能简单地采用传统的收益法（DCF）方法评估其价值，需要考虑采用期权定价的方法评估其价值。

实物期权中的“标的资产”：

（1）实物期权实际操作中确定标的资产是十分关键的。

（2）标的资产即实物期权所对应的基础资产：

①看涨期权，其标的资产是当前资产带来的潜在业务或者项目所形成的资产；

②看跌期权，其标的资产是实物期权所依附的当前资产。

（3）波动率是标的资产收益率（回报率）的标准差。

（三）电力企业发展选择权评估案例

根据目前国家相关法律、法规的规定，火力发电企业如果想申请新建新火力发电厂，则需要关停现有的小火电厂，实行“关一给二”的政策，也就是关停一千瓦容量的小火电机组可以批准新建二千瓦的新机组。因此关停的小火电机组在转让其固定资产时就有一个所谓的“发电容量”的概念，也就是关停机组的发电容量，拥有上述容量就有一个进一步新建大机组的发展选择实物期权。

【案例1】

一个小电厂关停，根据国家“上大压小”政策，关停小电厂可以获得一个上大电厂的选择机会，这是否是一个实物期权？

（1）由于关停小电厂可以获得一个上大电厂的选择权，并且上大电厂可以获得更大收益，因此这的确是一个实物期权；

（2）由于这是一个进一步发展的选择权，因此这应该是一个看涨期权；

（3）标的资产：建成后的“大电厂”股权是标的资产；

（4）波动率：“大电厂”股权投资回报率的标准差。

背景情况：DK集团公司拥有一个火力发电厂，发电机组容量为35万千瓦，根据国家关于“上大压小”的相关规定将于近期关停，根据相关规定关停35万千瓦的小机组，可以申请新建一个70瓦千瓦的大机组，目前需要将该小机组的电厂股权转让，客户要求在评估相关实物资产的同时，要求评估师考虑“电容量”的价值。

实物期权存在辨识分析：

（1）该企业已经按照国家要求停机，此时进行股权转让一般只能采用成本法按有序变现为前提评估关停企业相关实物资产的可变现价值。

根据国家规定“三大主机”不得异地使用，因此只能按“拆整卖零”按废旧物资回收处理；部分辅机则可以按能否异地使用情况分别按重置成本法评估。

（2）该企业可以在原地（或异地，在仍在本地区）建新电厂，并且已经聘请相关机构完成了70万千瓦机组的可研报告。

（3）该企业所有者拥有一个新建大机组的发展选择实物期权。

因此决定采用B-S模型估算DK公司的发展选择期权。

B-S模型的选择：根据分析这是一个发展选择实物期权，因此属于看涨期权，可以选择不含红利的看涨期权B-S模型。

C＝SN（d₁）－X_e^-rTN（d₂）

B-S模型中各参数估算：

S：原含义是标的股票现实价格，现是新建的70万千瓦机组的新建电厂在建成后，其股权在基准日所表现的市场价值。S可以根据70万千瓦新建机组的可研报告采用DCF方式估算，也就是预测新厂建成后经营现金流折现到基准日的现值；

X：原含义为期权执行价，现为70万千瓦机组全部建设成本或全部投资的终值。参照可研报告估算；

r：原含义连续复利计算的无风险收益率，现在可以采用国债到期收益率；

T：原含义为期权限制时间，现可以采用从基准日到新建电厂完成并投资发电所需要的时间；

σ：原含义是股票波动率，现在应该是投资者投资70万千瓦火力发电企业股权所能获得回报率的标准差。可以采用国内中火力发电企业行业的全部上市公司的股票波动率。

【讨论问题】

是否对于一般续用的电厂都存在一个未来发展的选择实物期权呢？或者说实务中对于这种发电企业是否也应该评估其“电容量”呢？

DK公司电力企业发展选择权评估计算表：

国债到期收益率计算表

估价数据表

波动率σ计算表

发展选择期权估算表

（四）或有资产评估案例

案例背景情况介绍：XX公司正在开发一种新生物疫苗EY疫苗，目前还没有完成“三期临床”，由于一个新的战略投资者希望投资，因此需要将该生物医药疫苗截止目前状态的市场价值进行评估。

评估分析：由于目前该疫苗尚没有完成试制程序，因此该疫苗技术不能按一项确定的疫苗生产技术进行评估，也就是该疫苗制造技术目前只能按或有资产进行评估。

【案例2】

一种生物疫苗，目前正处于研发状态，目前已经完成一期临床实验，如果此时评估该疫苗的价值应该如何评估？

（1）目前已经完成一期临床研究，为下一步研究工作奠定了良好的基础，因此如果拥有这一期临床的研究成果就可以有进一步研究的选择权，因此这里存在一个进一步开发的看涨实物期权；

（2）标的资产：研发成功后疫苗制造技术无形资产；

（3）波动率：疫苗制造技术无形资产投资回报率的标准差。

决定采用B-S模型估算EY疫苗制造技术。

B-S模型的选择：根据分析这是一个进一步开发的期权，因此属于看涨期权，可以选择不含红利的看涨期权B-S模型。

C＝SN（d₁）－X_e^-rTN（d₂）

B-S模型中各参数估算：

S：原含义是标的股票现实价格，现是新疫苗研制成功后，疫苗制造技术无形资产在基准日所表现的市场价值。S可以根据相关资料采用许可费节省法估算；

X：原含义为期权执行价，现为EY疫苗从目前阶段到研制成功尚需要的全部投入，需要分别按投资年限计算投资的终值；

r：原含义连续复利计算的无风险收益率，现在可以采用国债到期收益率；

T：原含义为期权限制时间，现可以采用从基准日到新疫苗投资所需要的时间；

σ：原含义是股票波动率，现在应该是投资者投资生物疫苗技术所能获得回报率的标准差。

波动率一般可以采用国内生物制品行业内的全部上市公司的股票波动率的标准差估算，但考虑到本次评估的标的资产是技术无形资产，不是一个企业的股权，因此采用生物行业上市公司股票估算波动率不妥。

本次评估采用向专家调查的方式请专家判断依据EY疫苗在基准日研制情况分析判断研制成功的概率（可能性），然后通过隐含方式估算波动率σ。

根据专家调查，截止评估基准日所完成的阶段成果，专家判断EY疫苗按计划成功完成的概率为50%。

根据B-S模型的特性，体现EY疫苗完成的概率实际就是期权执行的概率，即N（d₂），即：N（d₂）＝50%

上式实际隐含的σ＝40.9%，因此以40.9%作为波动率σ估算看涨期权的价值。

EY生物疫苗或有资产评估计算表：

EY疫苗制造技术现金流计算表

期权估算模型